מדות הרחמים ותקיעות השופר

הסדרה החשבונית של חזקות המספר 3 חושפת לנו קשר עמוק בין יג מדות הרחמים ותקיעות השופר – מאפייני חודש אלול, חודש הרחמים והסליחות

בחודש אלול אנו מרבים להזכיר את יג מדות הרחמים (יג המִדַיָא של "אחד מי יודע"). יש מי שכבר קמים לומר סליחות מראש חודש, ויש מי שמצטרפים בשבוע האחרון של החודש, כשעיקר הסליחות אזכרת מדות הרחמים, ומכאן שמו של אלול "חודש הרחמים והסליחות". בחודש אלול אנו גם תוקעים כל יום בשופר כדי לעורר את הלבבות לתשובה.

יש קשר מתמטי מובהק בין התקיעות ובין מדות הרחמים. נתחיל מהתקיעות. כל התקיעות מבוססות על המספר 3. התקיעה הנה קול 1 פשוט. השברים והתרועה הנם למעשה פרי הספק ביחס לכוונת התורה במלה "תרועה", אם התרועה נשמעת כמו יבבה או יללה. ההבדל, כפי שמבארים חז"ל הוא שבראשון 3 חלקים ובשני 9 חלקים. לפני שנמשיך לפעולות מתמטיות יותר מורכבות נציין גם ששמות סוגי התקיעות, כולן כפולות של 3: תקיעה עולה 585, או 3 פעמים 195, שברים עולה 552, או 3 פעמים 184, תרועה עולה 681, או 3 פעמים 227.

כעת, נשים לב שהחלקים של 3 סוגי התקיעות (תקיעה, שברים, תרועה) – 1, 3, 9 – הם הם החזקות הראשונות של 3:

30 = 1

31 = 3

32 = 9

אבל אם נחבר את המספרים יחד, כלומר נמצא את סכום 3 החזקות הראשונות של 3, נקבל,

13 = 32 ┴ 31 ┴ 30

קשר זה רמוז כבר בשמו של החודש: אלול. כיצד? במספר קטן (המורה לפי האריז"ל על מוחין דקטנות, ולכן מתאים במיוחד ליכולתם השכלית של ילדים קטנים) ערכן של אותיות "אלול" הנו: א = 1, ל = 3, ול = 9 – שלש החזקות הראשונות של 3 לפי סדר (וחלקי סוגי התקיעות, כנ"ל), וממילא אלול במספר קטן שווה 13, והנה רמז יפה לקשר שבין התקיעות, אלול ומדות הרחמים.

יחס מתמטי בין 3 ו-13

בתורת המספרים (number theory – כמובן שתורה יש רק אחת, אך זהו התרגום הלא מוצלח של המלה "תיאוריה", כנראה על בסיס דמיון פונטי בין "תיאוריה" ל"תורה") ידוע שלמספרים 3 ו-13 קשר עצמי מיוחד והוא שסכום כל 3 חזקות רצופות של 3 שווה למספר שהוא כפולה של 13. כבר ראינו כי

13 = 32 ┴ 31 ┴ 30

ובהמשך: 13 ∙ 3 = 39 = 33 ┴ 32 ┴ 31

13 ∙ 9 = 117 = 34 ┴ 33 ┴ 32

13 ∙ 27 = 351 = 35 ┴ 34 ┴ 33

וכן הלאה. קל להראות קשר זה מבחינה מתמטית (ואת ההוכחה אנו משאירים כתרגיל למתעניינים).

סדרות במתמטיקה ובתורה

ראינו אם כן את תכונתה של סדרת החזקות של 3 הקושרת אותה עם המספר 13. יש לציין שבכתבי הראשונים והאחרונים עד זמנינו, לא מצאנו כמעט עיסוק בסדרות מתמטיות (יוצאים מן הכלל הם מספר סדרות שהיו מוכרות בעולם היוני ובהן עשו שימוש האבן עזרא ולאחרונה כמו שהתגלה, גם אחד מהגאונים). כיום, חקר סדרות מתמטיות הוא אחד התחומים החשובים בתחום תורת המספרים של המתמטיקה. במשך השנים חוברו ספרים שונים שעסקו בהיבטים המתמטיים של סדרות מעניינות. אחד הספרים הגדיל לעשות ומתוך ראית הנולד נתן לכל סדרה מספר קטלוגי, כדי להקל על ההתייחסות אליה בצורה עקבית. עם כניסת השימוש באינטרנט בשנות ה-90 הועברו הסדרות והמספרים הקטלוגיים שלהן למסד נתונים שעבר כמה תמורות וכיום הוא ידוע כ-Online Encyclopedia of Integer Sequences (אנציקלופדיה מקוונת של סדרות ממספרים שלמים). סדרת החזקות של 3 מספרה הרשמי באותו מסד נתונים הנו A000244.

מה שחסר באתר הנ"ל הוא ההסבר על פשרה של הסדרה מבחינה תורנית. מבחינה מתמטית טהורה לכאורה אין צורך בהסבר נוסף מעבר לחקירת תכונותיה המתמטיות של הסדרה. אולם, כל מה שברא הקב"ה בעולמו, הכל ברא לכבודו, וכל פרט מהבריאה – בין מהדומם צומח חי ומדבר ובין מן האמיתות השכליות (המתמטיות, הלוגיות והאחרות) – כולו נועד להצביע על תכונה מסוימת של הבורא. ההסבר שראינו זה עתה על הקשר שבין חזקות של 3 ו-13 כפי שהוא משתקף בעניני חודש אלול הוא אחד ההסברים התורניים היפים לתכונת החלוקה ב-13 של סדרת החזקות של 3. כשלומדים את תכונות הסדרה מתוך ההבט התורני, הופכים הלימוד ואף חקר המתמטיקה בעצמם לאחדות אחת עם התורה ועם דבר ה'.

מנהג הבעל שם טוב בחודש אלול

חכמי ישראל, עיני העדה הרואים למרחוק, אם כי יתכן שאינם בקיאים במתמטיקה, אך כל דבריהם מיוסדים על אדני התורה והעבודה, וממילא מתגלה שהוראותיהם מכוונות יפה, גם בהקשר מתמטי. והנה, בדורות האחרונים ייסד הבעל שם טוב הקדוש מנהג אותו קיבל ממורו ורבו, אחיה השילוני, בענין אמירת תהלים בחודש אלול. בספר תהלים 150 פרקים, כפולה של 3, ומנהג הבעש"ט לומר בכל יום מימי אלול 3 פרקים נוספים (על פרקי היום בחודש, כפי שמחולקים בכל ספר תהלים) על הסדר. וביום הכפורים, אומרים את הפרקים הנותרים, כשהם מתחלקים ל-4 קבוצות של 9 פרקים. ה-3 פרקים שבכל יום הנם 31, ואילו ה-9 פרקים בכל פעם ביום הכפורים הם 32. ומה טוב להתחיל כבר השנה במנהג זה, ולהשלים גם את הפרקים החסרים.

TPL_BEEZ2_ADDITIONAL_INFORMATION